Sens tego wszystkiego – lekcje teizmu. Lekcja 1

 

Odkrywanie rzeczywistości

W zasadzie to chyba każdy człowiek ma pragnienie poznania i zrozumienia otaczającej nas rzeczywistości. Przede wszystkim wykorzystuje do tego zmysły, które poprzez odkrycia naukowe przedłuża i rozszerza różnymi instrumentami naukowymi. Już od najmłodszych lat rozpoznajemy świat słuchem, smakiem, dotykiem i zapachem, troszkę później wzrokiem. Na tej podstawie wyciągamy wnioski i tworzymy sobie definicję różnych pojęć. Tworzymy sobie często pierwsze nasze przekonania, które stanowią podstawę dalszego poznawania i postępowania [„Civitas et Lex” 2014 /4, ks. M. Sieńkowski, Wiara, a inne typy poznania]

Te przekonania weryfikujemy w oparciu o doświadczenia oddziałując z rzeczywistością. Jako dzieci uczymy się dużo od starszych osób: rodziców, wujków, cioci, potem w szkole nauczycieli. Poznajemy naszą tożsamość poprzez różnego rodzaju interakcje z grupą rówieśniczą. Wchodzimy potem w życie mając w miarę ustanowiony światopogląd, który jest naszym pierwszym sitem przy poznawaniu dalszych elementów rzeczywistości. Rodzi się jednak pytanie, czy prawdziwym. Dla wielu ludzi takim podstawowym weryfikatorem jest nauka – bo uczeni tak twierdzą, dla innych religia, w której się wychowują. Obieramy sobie często autorytety i bronimy ich poglądów często kosztem prawdy i logiki. Niektórzy uznają święte księgi nie wnikając w ich spójność i prawdziwość podchodzą do nich z ludzkich założeń. Pozostają jeszcze różnego rodzaju objawienia. Gdzie jest ta prawda i na czym się oprzeć? Jak ją zweryfikować?

Zacznijmy od samej nauki i jej ograniczeń.

"Jeden z mitów na temat nauki głosi, że opiera się ona tylko na obserwacji, tzw. nagich faktach i logice. Teorie i prawa naukowe biorą się stąd, że naukowcy w nieuprzedzony sposób dokonują obserwacji, a następnie na drodze logicznego rozumowania ustalają istnienie jakiegoś porządku w tym, co zaobserwowali, i porządek ten wyrażają za pomocą praw i teorii. Uczony wolny od wszelkich wcześniejszych założeń ma dostęp do tak zwanych „nagich faktów”. Jego obserwacje są pewne i stanowią solidny fundament dla teorii opracowywanych na ich podstawie. Z faktów tych na drodze logiki indukcyjnej uczony wyprowadza prawa i teorie naukowe. Oparcie na nagich faktach i zastosowanie logiki gwarantują pewność i prawdziwość praw i teorii naukowych. Porządny uczony zaczyna od nieuprzedzonej obserwacji i na tej postawie drogą logicznych rozumowań dochodzi do teorii. Sam Newton mawiał „hypotheses non fingo”, czyli „hipotez nie wymyślam”, mając na myśli, że właśnie w ten sposób, tj. wychodząc od nieuprzedzonej obserwacji, doszedł do słynnej teorii. Wielu uczonych podobnie widzi swoją pracę."

Nie ma nauki bez założeń, Piotr Bylica, Forum akademickie 7-8/2020, https://miesiecznik.forumakademickie.pl/czasopisma/fa-7-8-2020/nie-ma-nauki-bez-zalozen

Czyż to nie brzmi pięknie jako opis obiektywnej i uczciwej nauki? Niestety jest to całkowicie błędna charakterystyka:

"Tezę o uteoretyzowaniu obserwacji rozumie się na różne sposoby, mniej lub bardziej radykalne. Najsłabsza przyjmuje, że gdy uczony obserwuje świat, to wcześniej przyjęte teorie pozwalają mu decydować, które z zebranych faktów są ważne, a które nie, jakich narzędzi ma użyć do obserwacji, jakie wyniki należy uznać za relewantne itp. Wskazuje się też, że samo użycie narzędzi obserwacyjnych, szczególnie tych bardzo skomplikowanych, jak akceleratory cząstek, radioteleskopy, mikroskopy elektronowe itp., ale tak naprawdę także i prostszych, jak lupa, wiąże się z zaufaniem do teorii, na podstawie których urządzenia te zbudowano. Uczony, który ich używa, patrzy na świat jakby poprzez teorie wykorzystane przy ich konstrukcji. Wcześniej przyjęte teorie, także poprzez język używany do opisu wyników obserwacji, wpływają na to, co uznane zostaje za fakt. W zależności od pojęć, jakimi dysponujemy, różnie postrzegamy rzeczywistość. Słowa „planeta” czy „atom” nie oznaczają dziś tego samego, co sześćset lat temu. Gdy starożytni astronomowie spoglądali w niebo, patrząc na Księżyc, Słońce i Marsa, widzieli w tych ciałach planety. Nie zaliczyliby Ziemi do planet, bo słowo „planeta” pochodzi z języka greckiego od słowa oznaczającego „błądzić”, a Ziemia według nich była nieruchoma. Planetami były ciała niebieskie, które w przeciwieństwie do gwiazd stałych zmieniają położenie względem siebie. Dla Kopernika słońce już nie mogło być planetą. Słowo „atom” wywodzi się z greckiego słowa, które odnosi się do czegoś niepodzielnego. Jeszcze nowożytni uczeni rozumieli atomy jako najmniejsze, niepodzielne dalej cząstki materialne, z których zbudowany jest cały przyrodniczy świat."

Tamże

Czyli na początku każdej dyskusji musimy ustalić jakie mamy założenia filozoficzne aby móc uczciwie dyskutować i badać spójność naszych światopoglądów i naszego rozumienia rzeczywistości.

"Metafizyka, mity, przesądy są w pewnym sensie równie immanentną częścią nauki jak owe fakty, które próbujemy włączyć do racjonalnej rekonstrukcji."

„Toteż nauka zawiera w sobie zawsze nie tylko twierdzenia o świecie badanym, lecz również założenia co do natury podmiotu naukę uprawiającego”

Piotr Amsterdamski, Między doświadczeniem a metafizyką, Książka i Wiedza, Warszawa 1973, 99, 100

Jak sami więc widzimy u podstaw samej nauki leży wiara. Wtedy rodzi się kolejne pytanie na jakiej podstawie wierzę, co mnie do tego zachęca (objawienie czy tylko logika).

Samo pojęcie nauki jest ciekawe w odniesieniu do okresu w którym jest analizowane.

Musimy jednak najpierw garść definicji. Pozwólcie proszę, że zacytuję:

Nauka - koncepcja wiedzy wartościowej, którą z tych czy innych powodów akceptujemy

ideał wiedzy naukowej - historia nauki, jej tradycyjne metody (tradycje), źródła, potencjalne granice konstytuowane przez określoną grupę ludzi w danym czasie. Przesuwa to ciężar prawdziwości na podstawy, na których oparta jest dana nauka i założenia światopoglądowe jej twórców. Taka nauka jest zależna od zbyt wielu zmiennych by bezmyślnie się na niej opierać. W pewnym momencie istnieje niebezpieczeństwo wpadnięcia w błędne koło, gdy odkrywamy, że akceptowane ideały wykorzystujemy w określaniu samej nauki:

„Funkcje ideałów wiedzy naukowej w rzeczywistej działalności poznawczej.

1. Wyznaczają one potencjalne granice zjawiska zwanego nauką

2. Stanowią filtr, który sprawia, że jedne problemy badawcze możliwe do podjęcia w danej sytuacji poznawczej zostają zakwalifikowane jako godne badania, interesujące czy ważne, inne zaś mogą zostać niedostrzeżone lub pominięte jako nieistotne czy zgoła nienaukowe

3. Współwyznaczają reguły akceptacji twierdzeń i ich odrzucania, zasady zadowalającego wyjaśniania zjawisk, sposoby budowania teorii

4. Implikują określony etos naukowy i wewnętrzną organizację społeczności uczonych, ich rozumienie nauki jako instytucji społecznej.”

Piotr Amsterdamski, Między doświadczeniem a metafizyką, Książka i Wiedza, Warszawa 1973, s. 22-41

Dopiero w tym kontekście możemy oczekiwać wyjaśnień czy obrony jakiegoś stanowiska. Można sobie przy okazji zadać pytania. Na czym polega naukowo zadowalające wyjaśnienie i co decyduje czy podane wyjaśnienie uznane zostanie za zadowalające?

"Dla powierzchownego spostrzegacza prawda naukowa nie

podlega żadnej wątpliwości; logika nauki jest nieomylną, jeżeli

zaś uczonym zdarza się błądzić, to wówczas tylko, gdy sprzeniewierzają się jej prawidłom. Prawdy matematyczne wywodzą się z niewielkiej ilości twierdzeń oczywistych za pomocą łańcucha rozumowań wolnych od zarzutu; narzucają się one nie tylko nam, ale i samej przyrodzie. Krępują one, że tak powiem, Stwórcę i pozostawiają mu wybór między pewną tylko, względnie niewielką, ilością rozwiązań. Wobec tego wystarczy kilka doświadczeń, abyśmy poznali, jakiego mianowicie dokonał on wyboru. Z każdego doświadczenia będzie można wyprowadzić mnóstwo wyników drogą dedukcyj matematycznych i w ten to sposób każde poszczególne doświadczenie zapozna nas z jakimś zakątkiem Wszechświata. Takie to jest dla wielu ludzi, dla gimnazistów, którym wykłada się pierwsze początki fizyki, źródło pewności naukowej. Tak to rozumieją oni rolę doświadczenia i matematyki.

Tak również rozumiało ją przed stu laty wielu uczonych, którzy marzyli o zbudowaniu świata, zapożyczając od doświadczenia możliwie najmniej materyałów.

Nauka i Hipoteza, H, Poincare, G. Centnerszwer i S-ka, Kraków 1908

A także:

"Sytuacja jest więc w rzeczywistości zupełnie inna, niż to wyobraża sobie naiwny empirysta lub wyznawca logiki indukcjonistycznej. Sądzi on, że wspinanie się po drabinie nauki rozpoczynamy od gromadzenia i systematyzowania doświadczeń (...).

(...) Ale gdybym otrzymał polecenie: "zdaj sprawę z tego, czego w tej chwili doświadczasz", nie bardzo wiedziałbym, w jaki sposób spełnić to niejednoznaczne żądanie.(...)

(...) Nauka zakłada przyjęcie pewnego punktu widzenia i postawienie problemów teoretycznych"

Logika odkrycia naukowego, K. Popper, PWN, Warszawa, 1977, s. 90

Wszystko tak naprawdę zależy od tego jakie mamy założenia i co uznajemy za prawdę. Już Kazimierz Ajdukiewicz pisał:

"Przez kryterium prawdy rozumie się bowiem jakąś ostateczną instancję decydującą o uprawnieniach naszych przekonań. Kryterium prawdy to taki warunek prawdziwości naszych przekonań, że póki się go nie zastosuje do jakichś sądów, z których nasze przekonania wywodzimy, przekonania te zawieszone będą w powietrzu, z drugiej zaś strony, warunek taki, że jeśli się go zastosuje do jakiegoś naszego przekonania, to staje się ono tym samym definitywnie prawomocne"

K. Ajdukiewicz, Język i poznanie, PWN, Warszawa, 1985, s 11

Pozostaje więc wtedy pytanie, jakie jest nasze kryterium prawdy i na jakiej podstawie uważam, że mogę je uznawać. I to jest różnica tak naprawdę w dyskusji naszych światopoglądów. Fakty są wszystkie takie same, ale interpretacje mamy inne nacechowane: środowiskiem, w którym dorastaliśmy, wiedzą, którą uprzednio nabyliśmy, autorytetami, które uznawaliśmy. Podchodząc więc do rzeczywistości i wykonując jakiś eksperyment, bierzemy to wszystko i próbujemy odczytać rzeczywistości. Teoria mówi eksperymentowi jakie wyniki ma uzyskać:

"Wszystkie te rozważania istotne są z punktu widzenia epistemologicznej teorii eksperymentu. Teoretyk zadaje eksperymentatorowi pewne określone pytania i eksperymentator pragnie na te pytania, a nie na żadne inne, udzielić wiążącej odpowiedzi poprzez swoje eksperymenty. Wszystkie inne pytania stara się stanowczo odsunąć. (...) Eksperymentator przeprowadza test zajmując się jednym, wybranym pytaniem "... tak uważnie, jak to tylko możliwe, a zarazem tak nieuważnie, jak to tylko możliwe, wszystkimi innymi pytaniami pokrewnymi...(...)

(...) Jednakże nawet eksperymentator nie stawia sobie przede wszystkim za cel dokonywania precyzyjnych obserwacji, gdyż i jego praca ma w dużej mierze charakter teoretyczny. Teoria rządzi pracą eksperymentalną od początkowego momentu nakreślenia planu aż po ostateczne poprawki w laboratorium"

Logika odkrycia naukowego, K. Popper, PWN, Warszawa, 1977, s. 91

Skoro wnioski naukowe dotyczące sensu naszego istnienia i stworzenia oraz historii wszechświata są na niestabilnych podstawach to może warto się zwrócić w kierunku religii? Niestety już na samym początku możemy sobie zadać pytanie: która religia jest właściwa, przecież są ich tysiące i każda MÓWI, ŻE JEST TĄ JEDYNĄ RZUCAJĄC PRZEKLEŃSTWA NA INNE „KONKURENCYJNE” religie. Zmieniając trochę wypowiedź „Myślę więc jestem” pozostało nam zwrócenie się do świadomości istnienia czegoś większego niż my, kogoś kto jest poza naszym materialnym wszechświatem. Mamy sumienie, które jest pewnym strażnikiem naszej „moralności” ostrzegając nas przed popełnieniem różnych rzeczy wskazując na istnienie jakiegoś rodzaju prawa, które tylko możemy przeczuwać. Szukając wyjaśnień odkrywamy, że obserwowalny wszechświat, istnienie praw natury, istnienie „duchowości” świadczą, że jest Stwórca, który nawet się objawił człowiekowi, niestety zostało to skrzywione przez człowieka i zaowocowało powstaniem niewoli („opium dla ludu”) zwanej religią. Podchodząc z otwartym umysłem staramy się czytać Wszechświat zgodnie z metodami, które zostały nam użyczone lub odkryte przez nas jako te, które możemy stosować do badania naszej rzeczywistości. Z definicji jednak możemy stwierdzić, że do poznania Stwórcy potrzeba czegoś więcej. Potrzebujemy objawienia Jego samego abyśmy mogli Go naprawdę poznać. Świadczy to, że Biblia nie może być interpretowana w dowolny sposób przy użyciu naszych ludzkich słowników , encyklopedii czy rozumu. Potrzebujemy uczciwego podejścia do niej jako do Bożego Słowa i Bożego objawienia, w którym musimy stosować Boże metody i Boże odpowiedzi na nasze pytania. Jak to wygląda praktycznie? Ktoś kiedyś mądrze powiedział: Scriptura ex scriptura expliconda est – Biblię możemy wyjaśnić tylko Biblią, więc cokolwiek ona mówi musi być spójne z nią samą. Dzięki temu dochodzimy do całkiem innych często definicji i twierdzeń niż wmówionych nam przez wyżej wspomniane autorytety czy to naukowe, czy religijne czy po prostu społeczne. Rzuca to światło na naszą egzystencję niezależnie od naszego rozumowania, co świadczy, że objawienie Boże przez Biblię jest niezbędnym a nawet wręcz podstawowym sposobem do odkrywania sensu i poszukiwania odpowiedzi na podstawowe pytania dotyczące naszej przeszłości, przyszłości i całego sensu istnienia.

Konkludując całość wypowiedzi możemy stwierdzić, że bez światła z zewnątrz nie możemy być niczego pewni. Stąd mogę powiedzieć, że objawienie nie jest możliwością dopuszczalną ale niezbędną do poznania prawdy o rzeczywistości w której żyjemy. Bóg dał nam też rozum abyśmy mogli go wykorzystywać łącząc fakty, usuwając sprzeczności odkrywając, że stworzenie (potrzeba poznawania poprzez naukę i Biblię), sama Biblia i świadomy obecności Boga i Jego planu dla nas, posłuszny Jemu człowiek, są dowodami niezbitymi na jego istnienie, ale i Jego sprawiedliwość i miłość. Tylko bądźmy uczciwi.

Pozdrawiam serdecznie

Magia liczb zespolonych

 Każdy bardzo dobrze wie, że nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. Ale czy kiedyś drogi czytelniku sprawdziłeś to? Czy nigdy nie możemy uznać takiego pierwiastka? W szkole uczymy się o liczbach rzeczywistych pośród których poznajemy, oprócz znajomych nam liczb naturalnych, całkowitych i ułamków (wymiernych), także takie twory jak  √2, √3. Poznajemy też liczbę bardzo związaną z kołem o nazwie π. Te liczby tworzące jeden zbiór noszą nazwę liczb rzeczywistych. Rzeczywiście w tym zbiorze nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. A w jakim zbiorze istnieją? Taki zbiór nosi nazwę zbioru liczb zespolonych. Ale zacznijmy od początku.

Już na początku naszej ery, Heron z Aleksandrii, bawiąc się figurami i bryłami geometrycznymi, tworzył figury, które nie miały prawa istnieć w naszej rzeczywistości ponieważ miały ujemną wysokość:

 

 Łatwo wyznaczyć wysokość takiej bryły (ostrosłup ścięty):

 

 Można wyliczyć, że wzór jest prawidłowy i dla większości obliczeń daje normalne, dodatnie wyniki (a=9j, b=2j, c= 10 stąd h=7j). Niestety jednak  dla niektórych długości boków wysokość staje się… ujemna (np. dla a=28j, b=4j, c= 15,wtedy h = √-63).

Niestety nie przywiązywał do tego zbyt dużej uwagi i odkrycie liczb zespolonych odsunęło się w czasie. Kolejnym Grekiem, który miał szansę zapisać się w historii matematyki złotymi głoskami jako odkrywca liczb zespolonych był Diofantos. Diofantos zasłynął z tak zwanych równań diofantycznych (równania, których pierwiastków szukamy w zbiorze liczb całkowitych). Zajmując się trójkątami prostokątnymi otarł się o liczby zespolone. Postawił sobie następujące zadanie:

 Znaleźć boki trójkąta prostokątnego, którego pole wynosi P = 7j², natomiast obwód wynosi 12j.

Diofantos rozwiązał to zadanie w następujący sposób (zastosowałem współczesną notację, żeby uprościć zapis:

 

Łatwo sprowadzić powyższe rozwiązanie do następującego równania:

Problem polega na tym, że nie ma tu rozwiązań, chyba że zespolone. Sprawdźmy:

Policzmy deltę i odkrywamy, że delta jest ujemna i wynosi -167. W jakiej sytuacji delta jest ujemna? W szkole mówi się, że nie ma rozwiązań, czy aby na pewno?

Na długi czas matematycy przestali zajmować się tymi dziwnymi rozwiązaniami. Doszło nawet do tego, że w 850 r.n.e. Hinduski matematyk Machaviracharya napisał w Ganita-sara-samgraha (kompendium istoty matematyki), że nie wolno zajmować się pierwiastkami z liczb ujemnych.

Na szczęście niektórzy nie zastosowali się do tego zakazu. W 1545 roku Girolamo Cardano postawił następujący problem (w istocie zbliżony do problemu Diofantosa):

 Podzielić 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40

Wynikiem okazały się następujące dwie liczby:

Długo torowały sobie drogę liczby zespolone do uznania ich za obiekt badań matematycznych. W 1572 w książce pod tytułem „Algebra” Rafael Bombelli umieścił liczbę a w 1629 Albert Girard wprowadził nazwę niemożliwe rozwiązania dla następującego zapisu liczbowego:

Kartezjusz w 1637 nazwał te liczby urojonymi lub wymyślonymi. Mimo że w 1777 roku pojawił się symbol dla wprowadzony przez wybitnego matematyka Leonarda Eulera pod postacią literki i, teoria liczb zespolonych zaczęła się rozwijać po uzyskaniu geometrycznej interpretacji. Ale jak do tego doszło? Uczymy się już w szkole podstawowej na temat osi liczbowej, na której zaznaczamy liczby rzeczywiste ujemne i dodatnie. Narysujmy sobie taką oś liczbową z liczbami -1, 0, 1:

Przyjrzyjmy się proszę tej osi. Czy zauważamy, że -1 i 1 są tak zwanymi liczbami przeciwnymi? Mają ciekawą własność. Gdybyśmy potraktowali mnożenie jako rodzaj operacji obracającej 1 w -1 o kąt 180°, moglibyśmy popuścić wodze wyobraźni. Jeśli takie mamy działanie to rodzi się pytanie, jakiego typu mnożenie byłoby odpowiednikiem obrotu o kąt 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Otrzymalibyśmy prostą prostopadłą w punkcie 0, na której umieścilibyśmy jakieś ε. 

Hmm… jaka to liczba, skoro wszystkie liczby rzeczywiste umieściliśmy na osi poziomej? Spróbujmy wykonać operację mnożenia i zobaczmy co nam to da:

 

 Stąd już bardzo blisko do genialne w swojej prostocie rozwiązania, które podał Caspar Wessel w 1799 roku, wprowadzając płaszczyznę zespoloną (równolegle na ten trop wpadł też Jean-Robert Argand, szwajcarski księgarz – widzimy więc, że warto czytać książki).

Jak wynika z rysunku, wprowadzenie tej płaszczyzny (czasem nazywanej diagramem Arganda) umożliwiło w prosty sposób rozwój badań tych liczb. Ostatecznie w 1831 roku dzięki księciu matematyki Karlowi Gaussowi, liczby te nazwane liczbami zespolonymi uzyskały następującą postać:

 

 Na diagramie Arganda będzie to wyglądało następująco:

 

 Przyjrzyjmy się podstawowym działaniom na tych liczbach (pamiętając, że i² = -1):

Rozważmy dwie liczby zespolone: z₁ = a₁+b₁i oraz : z₂ = a₂+b₂i. Zacznijmy od dodawania i spróbujmy od razu przedstawiać dane działanie na płaszczyźnie zespolonej:

z₁+z₂ = a₁+b₁i+a₂+b₂i=a₁+b₁i=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

Zauważmy, że w wyniku dodawania znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną (analogicznie możemy zrobić z odejmowaniem). Zobaczmy, że działania na nich nie różnią się od zwykłych działań wprowadzanych w szkole. Sprawdźmy jak to będzie wyglądało na płaszczyźnie zespolonej:

 

 Czy zauważyliśmy, że tak naprawdę otrzymaliśmy dodawanie wektorów? Ciekawa sprawa. Czyżby liczby zespolone miały coś wspólnego z wektorami? Niespodziewany wniosek nam się pojawił. A co otrzymamy dodając do siebie pary liczb zespolonych z_k oraz z_l takie, że: a_k=b_l oraz a_l=b_k:

 Już dla tych wybranych liczb zespolonych, możemy zauważyć, że dla wszystkich par, których suma daje pewną liczbę zespoloną, liczby te leżą na jednej osi, która jest osią symetrii wszystkich tych par liczb zespolonych. Podstawmy i dodajmy te liczby:

z_k+z_l=a_k+b_ki+a_l+b_li=b_l+a_li+a_l+b_li=(a_l+b_l)·(1+i)

Otrzymaliśmy ciekawy wynik, na podstawie którego możemy wyznaczyć równanie danej osi symetrii:

iy=x

Zachęceni tym zbadajmy inne działania, może znowu coś ciekawego odkryjemy.

Kolejne działanie to mnożenie: Pomnóżmy nasze liczby zespolone z₁ i z₂ przez siebie:

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁·a₂+a₁·b₂i+ a₂·b₁i+ a₂·b₂i² =(a₁·a₂-b₁·b₂)+(a₁·b₂+ a₂·b₁)i

Może troszkę bardziej skomplikowane były te obliczenia, ale zauważmy, że znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną. Jak teraz to pomnożyć geometrycznie?

 Jak możemy zauważyć na rysunku, wykorzystujemy tu podobieństwo trójkątów. Trójkąt OAC jest podobny do trójkąta OBD, a trójkąt OAB  jest podobny do trójkąta OCD. Ponieważ punkt A leży w punkcie (1,0), możemy traktować liczby zespolone jako iloczyny 1  i z. Stąd otrzymujemy z₃ niezależnie od kolejności działań:

z₁·z₂= z₂·z₁

Zbadajmy teraz jeszcze dzielenie liczb zespolonych:

 

 Otrzymaliśmy coś dziwnego, elementy z i u góry i u dołu. Właściwie to jak to dalej poprowadzić?. Tu przychodzi nam z pomocą wiedza o usuwaniu niewymierności z mianownika ułamka (czyli zamieniamy znak przy członie związanym z liczbą urojoną b₂i). Spróbujmy zastosować tę samą procedurę mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:

 

 Czyli znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną. Wypadałoby sprawdzić interpretację geometryczną tych działań. Musimy jednak wcześniej odkryć jakąś sztuczkę.

 Narysujmy jeszcze raz liczbę zespoloną korzystając z diagramu Arganda:

 

 Czy możemy odkryć jakąś inną postać liczby zespolonej, bardziej przydatną. Możemy zauważyć, że punkt na płaszczyźnie oznaczający liczbę zespoloną możemy połączyć odcinkiem z początkiem układu. Jest on nachylony do osi OX pod pewnym kątem φ:

 

 Ponieważ występują tu funkcje trygonometryczne, nazywamy tę postać trygonometryczną. Ma ona następującą postać.

 Wartość bezwzględna nosi nazwę modułu liczby zespolonej. Wykorzystując tę postać można odkryć kolejne ciekawe właściwości liczb zespolonych:

 Podczas dodawania wykorzystamy tę postać i tożsamości trygonometryczne aby głębiej poznać ich geometrię. Być może pomoże nam to później przy kolejnych działaniach, czyli mnożeniu i dzieleniu. Mamy więc znowu dwie liczby zespolone z₁ oraz z₂:

 

 Wykonajmy zwykłe obliczenia

 

 Nie uprościło nam to za bardzo w porównaniu z poprzednim zapisem liczb zespolonych. Spróbujmy jeszcze narysować:

 Przejdźmy dalej i zobaczmy czy przy mnożeniu będzie łatwiej.

Wykonajmy najpierw mnożenie, a potem zobaczymy graficzną interpretację:

 

 Przyjrzyjmy się wynikowi mnożenia i skorzystajmy z prostych wzorów trygonometrycznych otrzymując interesującą, do interpretacji geometrycznej, postać:

 

 Narysujmy to aby zobaczyć prostą tego interpretację:

 

 Wynika z tego, ze mnożenie to sumowanie kątów i mnożenie modułów liczb zespolonych.

Pójdźmy dalej za ciosem i zobaczmy, że możemy w prosty sposób przejść do wzoru na potęgowanie liczby zespolonej z:

 

 Otrzymany wzór nosi nazwę wzoru Moivre’a i opisuje potęgowanie liczby zespolonej (drugi wzór dotyczy pierwiastkowania i wyznaczymy go później). Jeśli przyjmiemy, że moduł z = 1, to całe mnożenie sprowadza się tylko do obrotów po okręgu o promieniu 1. Otwiera nam to od razu furtkę do szukania rozwiązań równania

xⁿ=1

Zobaczmy, że tak naprawdę to wszystkie punkty na okręgu to jest to po prostu n pierwiastków z 1. W zasadzie poszukiwanie rozwiązań to wpisanie odpowiedniej figury foremnej w okrąg o promieniu 1, której wierzchołki wyznaczają wszystkie rozwiązania powyższego równania dla danego n. Przyjrzyjmy się kilku pierwiastkom z liczby 1:

 

 

 Zauważyłeś drogi czytelniku, że nie umieściłem tu rozwiązań dla pięciokąta. Poświęćmy mu teraz troszkę czasu, ponieważ pozwoli nam to uzyskać dodatkowe wnioski, oprócz samych rozwiązań.

Przyjrzyjmy się więc samemu pięciokątowi, a otrzymane wnioski zastosujemy do poszukiwań pierwiastków. Zacznijmy od narysowania pięciokąta w inny sposób:

 

 Niech długość boku tego pięciokąta wynosi a, wtedy możemy wyznaczyć stosunki odpowiednich odcinków i zastosować w naszych poszukiwaniach (oznaczmy kluczowe elementy pięciokąta odpowiednimi literami):

 

W prosty sposób możemy od razu odkryć, że kąt α = 36°. Z rysunku wynikają następujące stosunki:

Podstawiając do drugiej zależnośći wyznaczone b otrzymujemy zależność między x i y:

 

Z rysunku wynika ponadto, że

x+y=a

Na tej podstawie możemy już po kolei wyznaczyć kolejno x, y oraz b żeby na ich podstawie wyznaczyć stosunki potrzebne do otrzymania rozwiązania równania x⁵=1.

Zacznijmy od wyliczenia x:

 

 Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. którego rozwiązaniem (przyjmijmy tylko to dodatnie, bo nie istnieją ujemne boki) jest niespodzianka:

 

 Otrzymaliśmy liczbę φ czyli złotą liczbę określająca złoty podział, charakteryzujący piękno. 

 

 Dlatego chciałem to dokładnie rozwiązać. Łatwo już teraz wyznaczyć kolejne odcinki:

 

 Uff…. Możemy wrócić do naszego równania i pięciokąta wpisanego w okrąg:

 Z naszych rozważań kształtuje nam się obraz pierwiastkowania liczb zespolonych. Przyglądając się rysunkom stwierdzamy, że w części trygonometrycznej, liczby zespolonej wystarczy podzielić przez liczbę n, aby uzyskać rozwiązania odpowiednich „pierwiastkowań” Ponieważ funkcje sinus i cosinus są okresowe, dochodzimy do następującego wzoru:

 Po drodze otrzymaliśmy też bardzo ładny wzór trygonometryczny:

 

 Zostało nam już tylko dzielenie. Wiedząc, że jest to odwrotność mnożenia i łącząc z postacią trygonometryczną otrzymujemy:

 

Jak widać, liczby zespolone są bardzo wdzięcznym tematem. Są całe działy matematyki poświęcone liczbom zespolonym jak analiza zespolona. Są niezmiernie przydatne w fizyce i chemii. Można je też rozszerzać na jeszcze większe zbiory, ale o tym może innym razem.