Historia niczego

 

                                                    „Matematyka to nauka o przedmiotach nie istniejących” Hugo Steinhaus

Czy warto zajmować się czymś co nie istnieje? Czy coś nie istniejące może mieć jakiś
wpływ na nasze życie? Jaki sens ma badanie czegoś co tak naprawdę nie ma
praktycznego znaczenia? Już w szkole uczymy się o tym, że istnieją punkty, które
praktycznie… nie istnieją ponieważ nie mają rozmiarów, objętości itp. No bo gdyby miały
to by nie były już punktami (rys.1)

Potem dowiadujemy się o prostych i innych obiektach,z którym też się dzieją dziwne, choć
ciekawe rzeczy. Uczymy się o czarnych dziurach, przestrzeni, czasie i wielu innych. Z
każdym z tych pojęć związane są paradoksy, ciekawostki ale i głebokie problemy nad
którymi pracują uczeni na całym świecie. Jednym z takich pojęć jest próżnia, pustka, zero.
Czy próżnia, prawdziwa pustka istnieje naprawdę? Bezczas, bezprzestrzeń, gdzie nie
istnieją nawet prawa fizyki? Po prostu nic? Taka dziura w naszym Wszechświecie, albo
może Wszechświat istnieje w takiej dziurze?(rys.2)

Byłoby naprawdę ciężko. Dlatego starożytni mając bardziej prozaiczne problemy, często
natury egzystencjalnej nie zajmowali się takimi rzeczami.
Ale zacznijmy od początku.
Wydaje się, że liczby i figury towarzyszyły nam od zawsze. Pamiętamy ze szkoły, że w
starożytności istniały takie dwa ośrodki od których zaczęły się „badania” nad ilością i
wielkością. Były to oczywiście Egipt i Babilonia.
Egipt został założony wzdłuż odżywczej rzeki Nil, która z czasem zaczęła nawet
pretendować do miana bóstwa. Wszędzie wokół pustynia, ale wzdłuż Rzeki rozwinęłą się
wspaniała cywilizacja z ogromną wiedzą i mądrością. Nawet wielcy mędrcy greccy, jak
Pitagoras, Tales, Solon odbywali wędrówki do Egiptu aby spijać mądrość z ust
kapłańskich. Niestety Nil był bóstwem o zmiennych nastrojach. Czasem pomagał, a
czasem szkodził. Kiedy wylewał niszczył uprawy, ale nie tylko… Jego niszczące działanie
miało jednak błogosławiony wpływ na rozwój nauki. Otóż po każdym takim niszczącym
działaniu Nilu, trzeba było na nowo mierzyć „działki rolne”. Pojawił się zawód geometrów.
Niestety nie mieli oni takich przyrządów jak teraz mamy. Kawałek sznura z supełkami,
kijek i trzeba pracować. Równolegle rozwijał się zapis liczb, słynne hieroglify egipskie.
Lecz o zgrozo… tu nie ma znanego nam zera...(rys.3)

Jak myślicie dlaczego? Jeżeli chcemy coś policzyć, coś co istnieje, to jaki jest sens liczyć
coś czego nie ma? Na przykład spróbujmy policzyć ilość przedmiotów w pustym pokoju,
wymieniając w następujący sposób: w tym pokoju jak widzimy znajduje się zero mebli,
zero kotów, zero psów itd. Można wymieniać w nieskończoność. Więc koniec i basta, nie
zapisujmy zera, nie ma sensu, nie ma potrzeby, nie znamy go. Dlatego tak to wygląda.
Mamy tu różne liczby, niektóre ogromne, ale zera nie ma. Po prostu jeśli coś jest to
zapisujemy, że jest, nadajemy mu pewną wartość (podajemy jakiś symbol) i nieważne
gdzie go zapiszemy oznacza zawsze to samo.
Babilończycy mieli jednak problem. Oni jako pierwsi rozwinęli taki system liczbowy, w
którym ważne było miejsce zapisania danego znaku. Co to znaczy? Zacznijmy znów od
właściwego miejsca czyli… od początku. Wiadomo, że zapiski babilońskie były
sporządzane na glinie i następnie wypalane. Ale komu by się chciało wzorzyście rysować
w glinie. Bardzo nużąca praca. Dlatego jak spojrzymy na tabliczki babilońskie stwierdzimy,
że są na nich układy kresek. (rys.4)

Jest to tak zwane pismo klinowe. Liczby miały właściwie do wyboru dwa znaki: symbol
jedności i symbol dziesiątki.(rys. 5)

Wszystko zależało od położenia w którym umieścimy te znaki. Stąd system nosi nazwę
pozycyjnego. Podstawą takiego systemu w Babilonie była liczba 60. Mówiąc krótko symbol lub
liczba symboli umieszczona w danym miejscu była mnożona przez 1, 60, 3600 itp. w
zależności od położenia. (rys. 6)

Wszytko super, ale… Co by się stało jakbym zrobił za małą przerwę? Czy dalej będę w
stanie odczytać co to za liczba? (rys. 7)

Sami widzimy, że pozostawianie pustego miejsca wprowadza dodatkowe problemy i
wątpliwości. Coś trzeba z tym zrobić. Może należałoby wprowadzić dodatkowy znak
oznaczający puste miejsce? Tak właśnie zrobili w Babilonie. (rys. 8)

Długi czas taki separator nie miał żadnego dodatkowego znaczenia. Kto by chciał się
zajmować pustym miejscem.
Minęło dużo czasu… Po drodze rozwinęła się cywilizacja grecka, gdzie wzrosła niechęć
do próżni. Nie miała prawa istnieć pustka. Natura jej nie znosi. Wszyscy chcą jej unikać.
Aż do końca średniowiecza obowiązywało porażające hasło horror vacui (strach przed
próżnią). Rozwiązanie przyszło z innej strony. Ze wschodu…
Już w V wieku hinduscy uczeni zajmowali się zapisem pustki. Zastanawiali się też czy jak
coś dodamy do pustki, lub wykonamy z nią inne operacje matematyczne, to czy wynik
będzie sensowny i czy w ogóle ma prawo istnieć.
Brahmagupta… ważna postać. Wprowadził działania z pustką zwaną sunya:

Sunya (pustka a także i wieczność) zaczęła, żyć własnym życiem (jej symbolem była
kropka)… Historia pomogła jej się rozwinąć. Arabowie przejęli ją od hinduskich
matematyków. Nazywali ją al sifr. Kiedy dotarła do Europy nazwa rozwinęła się w dwóch
kierunkach

1. cyfra – oznaczenie pojedynczego znaku liczby
2. zero – oznaczenie „pustej” liczby, nazwa przyszła z Włoch

Ale jak myślicie czy zero tak łatwo wkupiło się w łaski uczonych? Okazało się, że są z nim
problemy – zwłaszcza z dzieleniem. Jak już się przyzwyczajono do liczb racjonalnych
(rational numbers, liczby wymierne), pojawiło się pytanie… Co się stanie jeśli podzielimy
przez zero. Filozoficznie problem ten pojawił się zanim odkryto zero. Wszyscy na pewno
słyszeliśmy nieraz o paradoksach Zenona. Był to filozof grecki który pokazał kolegom
filozofom, że chyba nie bardzo rozumieją ruch, czas i przestrzeń. Przy analizie bardzo
małych kroczków w przestrzeni i czasie udowadniał, że ruch nie istnieje. Przyjrzyjmy się
kilku paradoksom i zauważymy, że zaczyna nam z tego wyłazić kolejne monstrum –
nieskończoność.

1. Dychotomia (gr. dichotomos – przecięty na dwie części) (rys. 9)

 

O co chodzi w tym paradoksie… Ano o to, że biegacz sobie biegnie do mety i choćby nie
wiadomo jakby się starał to teoretycznie nie powinien dobiec… Wszyscy jednak wiemy, że
biegacze dobiegają do mety, więc jest problem z teoretycznym filozofowaniem na ten
temat. I to właśnie napiętnował Zenon z Elei w V p.n.e. Teoretycznie rzecz biorąc, żeby
biegacz mógł dobiec do mety, powinien pokonać drogę w nastepujący sposób: najpierw
pokonuje połowę drogi (hmmm.. w sumie logiczne), potem połowę pozostałej drogi, potem
połowę połowy pozostałej drogi i… tak bez końca. Dopiero odkrycia matematyczne
umożliwiły w późniejszym czasie rozwiązać ten problem. Jak zsumować nieskończenie
wiele nieskończenie małych odcinków…?

2. Achilles i żółw
W drugim paradoksie Zenona, ścigają się Achilles i żółw. Achilles jako kulturalny wojownik
daje fory żółwiowi, bo wie , że żółw jest wolniejszy i pozwala mu wystartować bliżej mety.
Startują w jednej chwili… I Achilles teoretycznie odkrywa, że żółw zawsze już będzie przed
nim… Za każdym razem gdy Achilles dobiega do miejsca gdzie żółw był przed chwilą,
żółw jest już dalej. Jest to pewna wersja dychotomii, tylko, że meta w postaci żółwia
porusza się. (rys.10)

3. Strzała
Chociaż jest więcej paradoksów Zenona, omówimy jeszcze tylko jeden z jego paradoksów
pod tytulem strzała, w którym Zenon pokazuje, że teoretyczne rozważania na temat ruchu
(zgodnie z myśleniem starożytnych) unicestwia sam ruch. (rys. 11) Zenon powiada, skoro
filozofowie uważają, że w każdym czasie obiekt zajmuje jakieś miejsce, to strzała
wystrzelona z łuku też w każdym czasie zajmuje jakieś miejsce. Jeśli tak jest to w danym
czasie strzała jest w spoczynku względem tego miejsca. Jeżeli tak się dzieje w każdym
czasie to znaczy, że strzała się nie porusza. I co wy na to…?

To co zauważyliśmy na podstawie tych trzech paradoksów, to ciekawa rzecz,
zmniejszaliśmy odcinki przestrzeni i wydłużał nam się czas. Gdyby udało nam się
zmniejszyć odcinki do zera to czas rośnie do nieskończoności. Spróbujmy więc teraz
rozważyć jakie związki ma zero z nieskończonością.
Podczas nauki w szkole poznajemy różne operacje matematyczne: dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie itp. Zobaczmy co możemy zrobić z zerem i odkryjemy
jego ciekawe właściwości:

Coś w tym ostatnim działaniu się zmieniło. Co to znaczy, że liczba jest ujemna? Jest to
ciekawe pytanie. Ponieważ dodanie liczby np. 5 do (-5) powoduje, że wszystko znika.
Pojawia się zero. Czy możemy wyobrazić sobie taki proces. Było to takie dziwne, że przez
długi czas liczbom ujemnym odmawiano prawa do realnego istnienia. Wyobraźmy sobie,
że mamy kartę kredytową i możemy „pożyczyć” na niej 1000 zł. Jeśli teraz wpłacimy 1000
zł, okaże się, że jest wszystko w porządku – mam zero długu, brak długu. Pójdźmy z
operacjami dalej:

No i posypało się… Jak to jest z tym dzieleniem dowolnej liczby przez zero. Coś tu nie
gra… Spróbujmy pomyśleć mam dowolną ilość rzeczy i chcemy je podzielić na 0
osób….Ile każda z osób dostanie? Wydaje się, że zero, no bo przecież nikt nic nie dostał.
Ale matematycznie, każdy ma nieskończenie wiele możliwości i czasu aby to mieć. Ufff
głowa aż paruje… Może w inny sposób… Dzielimy coś przez nic, to możemy sobie
wyobrazić, że jest nieskończenie wiele niczego w czymś… O już lepiej… Chyba dobry
trop… Napiszmy więc:

No dobrze, czy z ujemną i dodatnią liczbą będzie to samo? Czy jak podzielimy większą
liczbę to czy będzie więcej nieskończonej ilości? Zajmiemy się tym kiedy indziej. Tu
rozważmy jeszcze ostatni przykład:

Spróbujmy zacząć od tego co znamy. Wiemy, że jeśli dzielimy to samo przez to samo to
powinno być jeden. Zobaczmy czy nam to wyjdzie z zerem:

No nie, doszliśmy do absurdu. Tak to możemy udowodnić wszystko… Nie możemy, jak
widzimy podać jednoznacznej wartości naszemu ułamkowi. Nazwijmy go symbolem
nieoznaczonym i stwierdźmy, że może przy konkretnych warunkach, dodatkowych
działaniach uda nam się w innych okolicznościach podać takie wartości. W kolejnych
artykułach postaramy się pogawędzić o funkcjach i ich ograniczeniach (granicach).
Ponieważ rozpisałem się, opowieść powoli dobiega końca, muszę kończyć ponieważ nic
dobrego z tego nie będzie. Niczym się z wami podzieliłem.