Figura, która nie powinna istnieć

 Ponad 1900 lat temu grecki matematyk i wynalazca Heron z Aleksandrii badał własności figur geometrycznych. Podczas tych rozważań natrafił na niezwykły problem.

Czy można narysować trójkąt, którego wszystkie boki mają długości całkowite, a jednocześnie jego pole jest również liczbą całkowitą?

Okazuje się, że tak!

Na przykład trójkąt o bokach:

3, 4 i 5

ma pole równe:

6

Takie trójkąty nazywamy dziś trójkątami Herona (Herona triangles)

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że istnieje nieskończenie wiele takich trójkątów.

Skąd o tym wiemy?

Heron odkrył wzór pozwalający obliczyć pole trójkąta wyłącznie na podstawie długości jego boków:

$$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$$

gdzie

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

jest połową obwodu trójkąta.

To jeden z najpiękniejszych wzorów w całej geometrii.

---

Pomyśl

Skąd starożytni matematycy mogli wiedzieć, jakie własności mają figury, skoro nie mieli komputerów, kalkulatorów ani współczesnej algebry?

Matematyczne zabawy ze światłem cz. 3

 Rozważmy najpierw najprostsze, płaskie zwierciadło, czyli przejrzyjmy się w lustrze:

Strasznie dużo tych promieni, usuńmy je więc, zostawiając jeden (wiemy, że wszystkie inne tak samo się będą zachowywać):

 

Stosując poznane zasady odkrywamy, że przecięły się przedłużenia promieni, wnioskujemy, że w tych przecięciach pojawił się obraz, co obserwujemy na powyższych rysunkach 😉 Obraz ten jak mówi się w fizyce jest prosty, pozorny (z powodu tych przedłużeń) oraz tego samego rozmiaru.

Zobaczmy co się będzie działo dalej. Zastosujmy teraz zwierciadła o krzywiznach związanych z krzywymi stożkowymi (idąc najprostszym myśleniem związanym z historią). Zwróćmy uwagę co się stanie jeśli skierujemy na takie zwierciadło wiązkę światła:

Jak widać na rysunku, normalne stanowią promienie zwierciadła i przecinają się w jednym punkcie. Przejdźmy teraz do obrazu w tych zwierciadłach. Najpierw rozpatrzmy obrazy w zwierciadle sferycznym wklęsłym dla różnych odległości (dla jednego zostawiono promienie, w pozostałych dla czytelności obrazu usunięto promienie):

 

 

Takie coś obserwujemy patrząc w zwierciadło wklęsłe. Jak piękna jest geometria. Przyjrzyjmy się teraz zwierciadłu sferycznemu ale wypukłemu, dla jednego przypadku (reszta analogicznie jak poprzednio):

 

Zachwyceni pięknem powstających obrazów sprawdźmy teraz zwierciadło paraboliczne:

 

Zauważmy, że w przypadku zwierciadła parabolicznego otrzymujemy miejsce przecięcia promieni odbitych zwane ogniskiem. Rozpatrzmy więc jeden przypadek dla zwierciadła parabolicznego:

 

Sprawdźmy jeszcze zwierciadło hiperboliczne wklęsłe:

 

Przyjrzyjmy się jak będzie wyglądał obraz w tym zwierciadle:

Ostatni rodzaj zwierciadła, to zwierciadła eliptyczne:

 

Przyjrzyjmy się obrazom w zwierciadle eliptycznym:

 

Ciekawym problemem jest matematyczna konstrukcja obrazów podczas przechodzenia światła pomiędzy dwoma ośrodkami o różnej gęstości optycznej. Załóżmy, że obserwujemy obiekt znajdujący się w wodzie i jak będą przechodziły promienie i co ujrzymy? Sporządźmy rysunek wstępny:

 

Powinniśmy określić teraz kąty załamania dla wybranych promieni padających, żeby móc naszkicować rysunek strzałki w miejscu, gdzie będzie nam się wydawało, że naprawdę ja widzimy. W tym celu musimy wykorzystać prawo załamania:

 

Wiedząc, że dla powietrza i wody n_2/1 = 1.41, możemy łatwo wyznaczyć kąt załamania dla danego kąta padania:

Ponieważ mamy już gotowy rysunek, ustalmy jakie mamy wartości kąta padania, dla wybranych promieni i obliczmy odpowiednio wartości kąta załamania:

 

Wyniki obliczeń przedstawimy w tabelce:

Narysujmy wybrane promienie załamane (nie możemy wszystkich bo zaciemni nam rysunek):

Pozostawiamy dla czytelnika narysowanie obrazu przy przechodzeniu światła w drugą stronę. Dopijam kawę i w ten sposób kończę.