Ogólne rozważania o liczbach kwantowych cz. 1

Model atomu wodoru Bohra, opisywany wcześniej, okazał się doskonały przy opisie atomu wodoru i prawie doskonały (z drobnymi przybliżeniami) przy analizie atomów wodoropodobnych. Nam jednak to nie wystarcza. Chcielibyśmy móc opisać wszystkie atomy i następnie zastosować tę wiedzę do opisu cząsteczek. Oczywiście jest rozwiązanie i nazywa się ono mechaniką kwantową, której głównymi twórcami byli Erwin Schrodinger i Werner Heisenberg. Wiemy, że było więcej tych uczonych, właściwie całe plejady, ale tych dwóch stworzyło równania opisujące kwantową rzeczywistość, jeden od strony mechaniki falowej, a drugi macierzowej – kiedyś o tym napiszę. Korci mnie, żeby pobawić się tymi równaniami , a nawet je rozwiązać dla różnych przypadków, ale to może w innej publikacji.

Mechanika kwantowa opiera się na 6 postulatach. Jak to mawiał kiedyś mój nieżyjący już profesor od chemii kwantowej, postulaty to nic innego jak „pobożne życzenia”. Okazało się, że w tym przypadku te życzenia się spełniły. A jakie to były życzenia? Omówmy sobie je.

Postulat I – o stanie układu kwantowego

Istnieją różne stany, z którymi spotykamy się na co dzień: stan zaciekawienia, stan znudzenia (mam nadzieję, że do tego stanu was nie doprowadzę). W fizyce też występują różne układy w różnych stanach, które powinniśmy opisać. Układ zawiera pewną liczbę cząstek, atomów, cząsteczek itd., które mają różne energie, zachowanie, oddziaływania ze sobą, temperaturę, ciśnienie, masę itd. Każdy stan ma oddzielny zbiór tych różnych wielkości (parametrów). Postulat I mówi, że istnieje pewna funkcja, zwana funkcją falową, która informuje nas o stanie cząstki lub całego układu. Ta funkcja jest zależna tylko od położenia cząstki i czasu. Niestety pojawia się problem, nie istnieje fizyczna interpretacja funkcji falowej. Sens dopiero ma kwadrat tej funkcji. Nazywamy go gęstością prawdopodobieństwa i analogicznie do gęstości, mnożąc ją przez element objętości otrzymujemy prawdopodobieństwo wystąpienia danego układu. Spróbuję kiedyś pokazać logikę matematyki stojącej za mechaniką kwantową tu zmierzamy raczej do celu – liczb kwantowych.

Postulat II – o reprezentacji wielkości mechanicznych

Tu się zaczynają schody, ponieważ o ile przedstawienie pędu, energii itd. w fizyce klasycznej jest bardzo intuicyjne, o tyle w fizyce kwantowej opiera się na matematycznych operatorach (operator jest to coś co operuje czymś np. operator mnożenia przez x to po prostu x·, czyli jeśli postawimy cokolwiek za tą kropką to otrzymamy właściwe mnożenie np. x·y). Jeśli chodzi o ten postulat mówi nam on po prostu jak przepisać wielkości klasycznej fizyki na analogiczne wielkości w fizyce kwantowej, są one trochę inaczej reprezentowane. 

 

Postulat III – o ewolucji stanu układu w czasie

Tak, to bardzo ważne żeby móc opisać nie tylko układ w chwili, w której go analizujemy, ale też żeby móc przewidzieć jego zachowanie (z pewnym prawdopodobieństwem) lub zbadać jego historię. Służy nam do tego równanie Schrodingera zależne od czasu:

 

Już wyobrażam sobie przerażenie... Jaki koszmarny wzór, tego nie było jeszcze, ooo po co nam taka matematyka... Spokojnie, spokojnie, nie każę wam tego rozwiązywać chcę tylko troszkę rozjaśnić, bo z tego wzoru wynika wzór, który daje liczby kwantowe. (niektóre liczby kwantowe można uzyskać już z atomu wodoru Bohra np. n – główna liczba kwantowa, l – poboczna liczba kwantowa , przy założeniu eliptycznych orbit itd.). Więc o czym mówi to równanie? Po pierwsze to dziwne H z daszkiem to przepisanie energii potencjalnej i kinetycznej na opis kwantowy, duże psi to znana nam już funkcja falowa z I postulatu. Liczbę pi chyba znamy, h to stała, którą wprowadził Planck, ma ona swoją interpretację: jest to najmniejsza porcja działania (kwant działania) i wynosi dokładnie 6,63·10^-34 J·s. Strasznie mała liczba, no bo mówimy o bardzo mikroskopijnym świecie. Zostały jeszcze te cudeńka co wyglądają jak odwrócone 6. Pozwólcie, że wystarczy nam, że pokazuje to drobne kroczki zmian funkcji falowej w czasie. Żeby dokładnie sprawdzić jak ewoluuje układ. Jeśli energia układu nie zależy od czasu, wtedy dochodzimy do równania, które w przypadku liczb kwantowych najbardziej nas interesuje:

 

Pojawiło nam się tu E, które jest po prostu wartością energii, którą możemy zmierzyć.

Postulat IV – o interpretacji wyników pomiarów w mikroświecie

Tutaj chodzi o to, że tak naprawdę możemy otrzymać tylko wartość średnią wielkości którą mierzymy. 

 

Postulat V – wprowadzenie pojęcia spinu

Tak naprawdę spin jako wielkość typowo kwantowa pojawia się jako rozwiązanie jeśli wprowadzimy energię zgodną z teorią względności Einsteina. Czym on jest? Tak bardzo potocznym językiem można powiedzieć, że jest to forma wewnętrznego obrotu elektronu, niestety nie ma on klasycznego odpowiednika. Jest to pewien wektor S o współrzędnych [S_x, S_y, S_z], w którym mierzymy tylko kwadrat długości tego wektora zgodnie z prostymi zasadami geometrii analitycznej:

 

lub jakąś składową (umownie S_z). Przy opisie kwadratu długości S pojawia się spinowa liczba kwantowa s (która dla elektronów przyjmuje wartość 1/2):

Postulat VI – o symetrii funkcji falowej

Ten postulat wprowadza nam podział cząstek na bozony (funkcja falowa jest symetryczna – co owocuje, że mogą być w jednym miejscu) i fermiony (funkcja falowa jest antysymetryczna i nie mogą być w jednym miejscu).

Z powyższych postulatów wynika cała chemia kwantowa. Nas na razie interesuje tylko wąski wycinek tej nauki zwany liczbami kwantowymi.