Ogólne rozważania o atomie wodoru Bohra

W wyniku eksperymentu Rutherforda przyjęto model planetarny budowy atomu. Wokół umieszczonego w centralnym miejscu jądra krążą elektrony. Zgodnie z fizyką, taki naładowany elektron (ujemny) krąży wokół naładowanego jądra (dodatnie) oddziałuje z nim i traci energię. Powinno się więc obserwować szybki spadek elektronu na jądro atomowe i koniec istnienia atomu czego nie obserwujemy,, trzeba było znaleźć jakieś wyjaśnienie.

Takie wyjaśnienie zaproponował duński uczony Niels Bohr. Ponieważ był to okres w którym zaczęła się gwałtownie rozwijać teoria kwantowa, zgodnie z którą promieniowanie rozchodzi się w sposób nieciągły, przyjmując tylko formę strumienia kwantów, założył on, że podobna sytuacja zachodzi w atomie.

Według fizyki klasycznej, można rozpatrywać elektron poruszający się wokół jądra atomowego jako ruch po okręgu, w którym działa siła dośrodkowa. Czym ona jest? Elektron ma masę. Wiemy, że masa nam sprawia wiele kłopotów, ponieważ stawia ona opór szybkim zmianom naszego ruchu. Doświadczamy tego na przykład podczas jazdy tramwajem. Kiedy tramwaj gwałtownie hamuje to nasze ciało nie jest w stanie nagle zmienić swojego ruchu (czyli zatrzymać się w jednej chwili) właśnie z powodu masy, więc lecimy do przodu, zanim się zatrzymamy. Podobne zjawisko występuje w ruchu po okręgu. Istnieje tu pewien odpowiednik masy ciała zwany momentem bezwładności. Związany jest on nie tylko z masą ale też z odległością od osi obrotu. Bez wchodzenia w większe szczegóły możemy przyjąć, że dla elektronu wyraża się on wzorem:

W związku z istnieniem bezwładności elektronu, działa na niego właśnie ta siła dośrodkowa (ciągle następuje zmiana kierunku ruchu, bo działa na elektron siła przyciągania elektrostatycznego i elektron porusza się po okręgu. Siłę dośrodkową opisuje się wzorem:

Potocznie z powodu efektu, który obserwujemy nazywamy ją siłą odśrodkową i w dalszym tekście tak będziemy ją nazywać.

Drugie pojęcie z którym się musimy zapoznać to moment pędu. Ale najpierw zacznijmy od pędu. Pęd jest niczym innym jak ilością ruchu. Wiadomo, że jakość ruchu zależy od masy i prędkości. Ilość też. Wzór też ma prosty:

A jak to będzie wyglądało w ruchu po okręgu? Ano, znowu musimy wziąć pod uwagę odległość od środka obrotu (osi obrotu) i otrzymujemy prosty wzór:

Ponieważ elektron (według modelu Bohra) krąży wokół jądra atomowego i nie traci energii, zostały przyjęte dwa założenia:

1. Elektron porusza się po orbicie stacjonarnej, na której nie traci energii. Mówimy, że moment pędu elektronu musi być skwantowany i może przyjmować tylko wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2 π:
   
   
   
   
   
2. Drugi postulat wynika z pierwszego. Żeby elektron mógł zmienić orbitę na wyższą potrzebuje kwantu energii o wielkości równej różnicy energetycznej między orbitami (absorpcja), natomiast, że kiedy spada na niższą orbitę wypromieniowuje odpowiedni kwant energii (emisja).

Musimy teraz zebrać wszystko razem do kupy. Na elektron działają dwie siły i one się równoważą. Są to sił odśrodkowa i siła przyciągania elektrostatycznego. Ponieważ jądrem atomu wodoru Bohra jest proton, który ma ładunek q (równy stałej e) taki sam jak elektron, wzór opisujący równowagę sił jest następujący:

Po lewej stronie mam siłę odśrodkową, a po prawej siłę Coulomba. Stałą k i e można znaleźć w tablicach fizycznych i znajomość ich wartości nie jest dla naszych rozważań niezbędna.

Przyglądając się bliżej wyrażeniu, możemy stwierdzić, że licznik lewej stronie sugeruje nam wykorzystanie I postulatu Bohra, aby dalej wyliczyć promień, czy energię elektronu.

Mamy więc:

    oraz  

Wykonujemy elementarne obliczenia:

Podstawiając do warunku równowagi sił i wykonując dalsze obliczenia:

 

Otrzymaliśmy wzór na odległości elektronu od protonu na kolejnych powłokach elektronowych. Liczbę n możemy utożsamiać z główną liczbą kwantową. Dla stanu podstawowego wyznaczamy r, przyjmując n = 0

Wyprowadźmy teraz wzór na prędkość elektronu na n powłoce, a potem energię elektronu na powłoce n.

Możemy wykorzystać uzyskany już wcześniej wynik na promień n-tej powłoki:

Podstawiając do wzoru opisującego pierwszy postulat Bohra:

Na końcu wyliczymy energię elektronu na n powłoce.

Elektron posiada dwa typy energii, jeden wynika z ruchu elektronu – jest to energia kinetyczna, a drugi wynika z oddziaływania elektronu z protonem. Możemy wypisać te dwa wzory:

1. Energia kinetyczna
   
   
   
   
   
2. Energia potencjalna
   
   
   
   
   

Całkowitą energię elektronu możemy więc uzyskać po prostych wyliczeniach

i wynosi ona

Można zapisać to w inny sposób oddzielając stałe od tego co się zmienia:

Możemy teraz zastanowić się nad ilością energii absorbowanej (lub emitowanej) przez elektron podczas przejścia na wyższą powłokę (lub spadku na niższą)- załóżmy, że elektron przechodzi z powłoki n na powłokę k:

 

Jeśli wolimy rozpatrywać to pod kątem obserwacji, czyli na przykład długość obserwowanej fali, łatwo możemy przekształcić ten wzór. Musimy tylko pamiętać o dwóch rzeczach:

Energia jest skwantowana

Gdzie ν jest to częstotliwość promieniowania, oraz, że promieniowanie rozchodzi się ruchem jednostajnym prostoliniowym:

 

gdzie c jest to prędkość światła w próżni (można sprawdzić w tabeli stałych fizycznych), a λ jest to długość fali.

Wykonując proste operacje matematyczne, otrzymujemy wzór na ilość drgań przypadających na drogę (1 cm) przebytą przez promieniowanie.

 

I ostatecznie:

 

Zapiszmy to jeszcze prościej:

 

Pojawiła nam się stała zwana stałą Rydberga. Wartość jej podana jest w tabeli stałych fizycznych.