Matematyczne zabawy ze światłem cz.1

 Kawa paruje roztaczając swój aromat po całym pokoju. Za oknem można jeszcze doświadczyć bliskości zimy, ale już można doświadczyć ciepłych promieni Słońca. Powoli oddalają się ciemniejsze i chłodniejsze dni. Światło zawsze wnosiło jakieś ożywienie i nadzieje. Już od dawna ludzie się nad nim zastanawiali, próbując je poznać. Niezbędny udział w odkrywaniu tajemnicy światła miała geometria. Geometryczną tradycję budowały przede wszystkim „Elementy” Euklidesa, pierwszy bodajże podręcznik geometrii i jego „Optyka”. Zastosowanie geometrii w dziełach Ptolemeusza pokazało, że geometria jest wszędzie wokół nas i można ją wykorzystywać do badania otaczającej nas rzeczywistości. Tymi dziełami Ptolemeusza były „Optyka” i „Almagest” kwintesencja myślenia starożytnych i wyżyny greckiej nauki, podobnie jak dzieła Archimedesa i Herona z Aleksandrii. Dzięki nim uzyskano trzy zdecydowanie oddzielne trendy związane z badaniem światła.  Przede wszystkim możemy wyróżnić optykę, która zajmowała się w matematyczny sposób światłem, widzeniem i konstruowaniem przyrządów optycznych. Kolejnym działem była katoptryka czyli nauka zajmująca się odbiciem światła od zwierciadła i zastosowaniem tego do przyrządów optycznych. Trzecim trendem była dioptryka związana z załamaniem światła. To między innymi dzięki pracom Witelona i późniejszym aż do Newtona włącznie, mamy jeden dział optyki geometrycznej. Jeśli chodzi o mechanizm fizyczny widzenia to przede wszystkim wyróżniało się myślenie atomistyczne, zepchnięte na margines przez Arystotelesa. Według atomistów do naszego oka docierały szeregi atomów, które symulowały, czy też tworzyły wrażenie rzeczywistości którą oglądamy. Platonicy z kolei sugerowali, że to nasze oko emituje swoje własne światło, które w połączeniu z zewnętrznym światłem tworzy jednorodne medium, które przekazuje efekty widzenia z powrotem do oka. Według Arystotelesa światło działało jako pośrednia przyczyna widzenia. Wykorzystując potencjalną przezroczystość danego środowiska, światło pozwalało barwie oddziaływać na środowisko, przekształcając je z przezroczystego w barwne. Barwa ta była następnie odbierana przez oko. Budową oka zajmował się już Galen i to on był autorytetem jeśli chodzi o fizjologię widzenia. Jakkolwiek bardzo ciekawym jest analiza światła i widzenia na różnych poziomach, my skupimy się tylko na podejściu matematycznym. 

Zgodnie z poglądem uznawanym już w starożytności i zapisanym przez Euklidesa w jego „Optyce” światło rozchodzi się prostoliniowo. Żeby nie śledzić całej, skądinąd pasjonującej historii optyki geometrycznej skupmy się tylko na dwóch prawach: są to prawo odbicia i  prawo załamania. Wyjaśnijmy je sobie na podstawie rysunków i zasady Huygensa (każdy punkt, do którego dotarło czoło fali staje się źródłem nowej fali kulistej):

Prawo odbicia

Kąt padania światła (kąt pomiędzy prostopadłą do powierzchni zwaną normalną, a promieniem padającym) jest równy kątowi odbicia (kąt pomiędzy normalna a promieniem odbitym).

 

Z rysunku wynika, że jeśli na powierzchnię pada wiązka światła (o pewnej szerokości, pomiędzy niebieskimi prostymi) z prędkością v, to część promieni tej wiązki zdąży już się odbić w punkcie O, podczas gdy inne promienie jeszcze będą zmierzały do punktu A.  Ponieważ promienie niebieskie mają tę samą prędkość, to możemy z rysunku odczytać, że odcinek OD zostanie przebyty w tym samym czasie jak odcinek BA. Kontynuując wywód, stwierdzamy, że punkt C (punkt przecięcia tych promieni) będzie środkiem obydwu tych odcinków. Wynika z tego, że kąt δ będzie równy kątowi ε. Ponieważ wiązkę światła stanowią równoległe promienie, możemy zapisać, że przy okazji kąt δ będzie równy kątowi γ. Z równości kątów γ oraz δ wynika równość kątów α oraz β. A to kończy nasz dowód.

Żeby móc przejść do drugiego prawa, potrzeba nam pewnych wiadomości na temat funkcji opisującej wzajemne relacje boków i kątów w trójkącie prostokątnym. Narysujmy sobie trójkąt prostokątny, ale w taki sposób, żeby jeden z boków był wielkością stała, a w dodatku promieniem okręgu (wtedy zrozumiemy, pomimo pomyłki w tłumaczeniu z arabskiego języka, jak łatwo zapamiętać te funkcje):

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywamy przeciwprostokątną i jest on zgodnie z rysunkiem promieniem okręgu. Zauważmy, że obydwa te trójkąty mają takie same przeciwprostokątne. Możemy też pomyśleć, że trójkąt czerwony jest przekształceniem trójkąta szarego. Podczas tego przekształcenia bok a  rośnie, a razem z nim rośnie kąt α. Z tego wynika, że bok ten, a raczej jego stosunek do promienia jest funkcją kąta α, ale też i jest funkcją (inną) kąta β (bo ten kąt z kolei maleje wraz ze wzrostem długości boku a). Analogicznie możemy rozważyć zmianę boku b względem zarówno kąta α jak i kąta β. Funkcje te mają swoje nazwy: sinus oraz cosinus. Pierwotnie pochodziły od rozważań analogicznych do naszych, stąd moje wyjaśnienie w takiej postaci.. Przyjmując przeciwprostokątną jako c, możemy teraz zapisać:

 Analogicznie możemy zapisać takie same związki dla kąta β:

Możemy wprowadzić jeszcze więcej zależności między bokami trójkąta prostokątnego, ale ograniczymy się do jeszcze tylko jednej. Funkcja ta nosi nazwę tangensa i jest stosunkiem dwóch boków a i b, zwanych przyprostokątnymi, do siebie. Możemy więc zapisać dla kąta α:

Oraz analogicznie dla kąta β:

 

Spróbujmy wyznaczyć wartości liczbowe, dla najprostszych kątów (na podstawie prostych trójkątów prostokątnych. Zacznijmy sobie od połowy kwadratu:

Przyjmijmy, że kwadrat ma boki o długości równej 1. Otrzymujemy więc:

Co możemy powiedzieć o kątach? Skoro ten trójkąt jest połową kwadratu, możemy śmiało stwierdzić, że każdy kąt ostry jest połową kąta prostego, czyli wynosi 45⁰:

Możemy teraz wyznaczyć sinus 45⁰ (w skrócie sin 45⁰) oraz cosinus 45⁰ (w skrócie cos 45⁰), a także tangensa 45⁰ (w skrócie tan 45⁰, lub tg 45⁰). Procedura szukania funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym jest ogólna i niezależna od rodzaju trójkąta prostokątnego. Najpierw należy zlokalizować kąt prosty, następnie stwierdzić, że przeciwprostokątna to bok leżący na wprost tego kąta, a przyprostokątne wychodzą z wierzchołka przy tym kącie. Potem musimy ustalić który bok leży na wprost szukanego kąta, a który wychodzi z wierzchołka trójkąta leżącego przy tym kącie (w naszym przypadku jest to dowolne bo obydwa kąty są takie same więc wartość sinusa będzie taki sam jak wartość cosinusa. W sinusie w ogólności bierzemy tę przyprostokątną, która nie ma nic wspólnego z szukanym bokiem, a w cosinusie tę która wychodzi z wierzchołka przy szukanym kącie.). Policzmy więc dla naszego trójkąta:

cdn.