Matematyczne zabawy ze światłem cz.2

 Rozważmy inny prosty trójkąt. Niech to będzie trójkąt równoboczny o bokach równych 1:

 

Zauważmy, że nie mamy tu trójkąta prostokątnego, ale możemy łatwo go zrobić prowadząc wysokość z jednego z wierzchołków:

 

Ponieważ suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180⁰, możemy łatwo policzyć, że w trójkącie równobocznym każdy kąt będzie miał wartość 60⁰. Z tego wynika, że połowa tego kąta wynosi 30⁰ i możemy narysować nasz trójkąt w pełni jako połowę trójkąta równobocznego: 

 

Spróbujmy wyznaczyć wartości naszych funkcji trygonometrycznych dla kątów 30⁰ i 60⁰. Zajmijmy się najpierw kątem 30⁰. Pamiętamy, że funkcję sinus możemy opisać jako stosunek przyprostokątnej, która nie ma nic wspólnego z szukanym kątem do przeciwprostokątnej. Skoro zajmujemy się kątem 30⁰ możemy stwierdzić, że z tym kątem nie ma nic wspólnego bok o wartości ½. Dlatego w prosty sposób uzyskujemy:

Analogicznie obliczając cosinus 30⁰ musimy wziąć pod uwagę drugi bok:

 

Tak samo liczymy tangens jako stosunek odpowiednich boków:

 

Podobnie możemy policzyć dla kata 60⁰:

 

Przydałoby się znaleźć wartość funkcji trygonometrycznych dla największego możliwego kąta w trójkącie prostokątnym i najmniejszego z możliwych. Takie kąty to 0⁰ oraz 90⁰. Ale jak to policzyć?

Zdajmy się trochę na intuicję matematyczną i troszkę dedukcji. Rozważmy trójkąt w którym jeden kąt jest tak bardzo mały i zobaczmy jak to opisać:

 

Teoretycznie możemy zmniejszyć ten kat do zera i otrzymujemy wtedy bardzo dziwny trójkąt:

Oczywiście wygląda jak odcinek, gdybyśmy mogli sobie wyobrazić bardzo płaski trójkąt, to moglibyśmy stwierdzić, że w przybliżeniu mamy to co na rysunku, a więc ciągle trójkąt. Co możemy tu zrobić? Ano policzyć sinus, cosinus i tangens:

 

Kończąc tę część, muszę napisać, że matematycy policzyli te funkcje dla różnych kątów i zawarli je w tabeli sinusów, i cosinusów oraz tangensów, które są dostępne nawet w formie tablic maturalnych. A my możemy wrócić do drugiego prawa zwanego prawem załamania.

 

Zobaczmy, że mamy tu granicę dwóch ośrodków, na którą pada wiązka światła. Musimy stwierdzić, że prędkość rozchodzenia się fali w obydwu ośrodkach będzie różna, zachowując jednak ciągłość fali. Z prostych związków trygonometrycznych oraz faktu, że każdy ośrodek ma swój współczynnik załamania względem próżni otrzymaliśmy wzór opisujący prawo załamania (prawo Snella):

 

Prawo to stwierdza, że podczas przechodzenia promienia światła pomiędzy ośrodkami o dwóch różnych współczynnikach załamania, stosunek tych współczynników załamania będzie równy stosunkowi sinusa kąta padania do kąta załamania.

Zastanówmy się teraz co możemy uzyskać wykorzystując te dwa prawa.