Magia liczb zespolonych

 Każdy bardzo dobrze wie, że nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej. Ale czy kiedyś drogi czytelniku sprawdziłeś to? Czy nigdy nie możemy uznać takiego pierwiastka? W szkole uczymy się o liczbach rzeczywistych pośród których poznajemy, oprócz znajomych nam liczb naturalnych, całkowitych i ułamków (wymiernych), także takie twory jak  √2, √3. Poznajemy też liczbę bardzo związaną z kołem o nazwie π. Te liczby tworzące jeden zbiór noszą nazwę liczb rzeczywistych. Rzeczywiście w tym zbiorze nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. A w jakim zbiorze istnieją? Taki zbiór nosi nazwę zbioru liczb zespolonych. Ale zacznijmy od początku.

Już na początku naszej ery, Heron z Aleksandrii, bawiąc się figurami i bryłami geometrycznymi, tworzył figury, które nie miały prawa istnieć w naszej rzeczywistości ponieważ miały ujemną wysokość:

 

 Łatwo wyznaczyć wysokość takiej bryły (ostrosłup ścięty):

 

 Można wyliczyć, że wzór jest prawidłowy i dla większości obliczeń daje normalne, dodatnie wyniki (a=9j, b=2j, c= 10 stąd h=7j). Niestety jednak  dla niektórych długości boków wysokość staje się… ujemna (np. dla a=28j, b=4j, c= 15,wtedy h = √-63).

Niestety nie przywiązywał do tego zbyt dużej uwagi i odkrycie liczb zespolonych odsunęło się w czasie. Kolejnym Grekiem, który miał szansę zapisać się w historii matematyki złotymi głoskami jako odkrywca liczb zespolonych był Diofantos. Diofantos zasłynął z tak zwanych równań diofantycznych (równania, których pierwiastków szukamy w zbiorze liczb całkowitych). Zajmując się trójkątami prostokątnymi otarł się o liczby zespolone. Postawił sobie następujące zadanie:

 Znaleźć boki trójkąta prostokątnego, którego pole wynosi P = 7j², natomiast obwód wynosi 12j.

Diofantos rozwiązał to zadanie w następujący sposób (zastosowałem współczesną notację, żeby uprościć zapis:

 

Łatwo sprowadzić powyższe rozwiązanie do następującego równania:

Problem polega na tym, że nie ma tu rozwiązań, chyba że zespolone. Sprawdźmy:

Policzmy deltę i odkrywamy, że delta jest ujemna i wynosi -167. W jakiej sytuacji delta jest ujemna? W szkole mówi się, że nie ma rozwiązań, czy aby na pewno?

Na długi czas matematycy przestali zajmować się tymi dziwnymi rozwiązaniami. Doszło nawet do tego, że w 850 r.n.e. Hinduski matematyk Machaviracharya napisał w Ganita-sara-samgraha (kompendium istoty matematyki), że nie wolno zajmować się pierwiastkami z liczb ujemnych.

Na szczęście niektórzy nie zastosowali się do tego zakazu. W 1545 roku Girolamo Cardano postawił następujący problem (w istocie zbliżony do problemu Diofantosa):

 Podzielić 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40

Wynikiem okazały się następujące dwie liczby:

Długo torowały sobie drogę liczby zespolone do uznania ich za obiekt badań matematycznych. W 1572 w książce pod tytułem „Algebra” Rafael Bombelli umieścił liczbę a w 1629 Albert Girard wprowadził nazwę niemożliwe rozwiązania dla następującego zapisu liczbowego:

Kartezjusz w 1637 nazwał te liczby urojonymi lub wymyślonymi. Mimo że w 1777 roku pojawił się symbol dla wprowadzony przez wybitnego matematyka Leonarda Eulera pod postacią literki i, teoria liczb zespolonych zaczęła się rozwijać po uzyskaniu geometrycznej interpretacji. Ale jak do tego doszło? Uczymy się już w szkole podstawowej na temat osi liczbowej, na której zaznaczamy liczby rzeczywiste ujemne i dodatnie. Narysujmy sobie taką oś liczbową z liczbami -1, 0, 1:

Przyjrzyjmy się proszę tej osi. Czy zauważamy, że -1 i 1 są tak zwanymi liczbami przeciwnymi? Mają ciekawą własność. Gdybyśmy potraktowali mnożenie jako rodzaj operacji obracającej 1 w -1 o kąt 180°, moglibyśmy popuścić wodze wyobraźni. Jeśli takie mamy działanie to rodzi się pytanie, jakiego typu mnożenie byłoby odpowiednikiem obrotu o kąt 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Otrzymalibyśmy prostą prostopadłą w punkcie 0, na której umieścilibyśmy jakieś ε. 

Hmm… jaka to liczba, skoro wszystkie liczby rzeczywiste umieściliśmy na osi poziomej? Spróbujmy wykonać operację mnożenia i zobaczmy co nam to da:

 

 Stąd już bardzo blisko do genialne w swojej prostocie rozwiązania, które podał Caspar Wessel w 1799 roku, wprowadzając płaszczyznę zespoloną (równolegle na ten trop wpadł też Jean-Robert Argand, szwajcarski księgarz – widzimy więc, że warto czytać książki).

Jak wynika z rysunku, wprowadzenie tej płaszczyzny (czasem nazywanej diagramem Arganda) umożliwiło w prosty sposób rozwój badań tych liczb. Ostatecznie w 1831 roku dzięki księciu matematyki Karlowi Gaussowi, liczby te nazwane liczbami zespolonymi uzyskały następującą postać:

 

 Na diagramie Arganda będzie to wyglądało następująco:

 

 Przyjrzyjmy się podstawowym działaniom na tych liczbach (pamiętając, że i² = -1):

Rozważmy dwie liczby zespolone: z₁ = a₁+b₁i oraz : z₂ = a₂+b₂i. Zacznijmy od dodawania i spróbujmy od razu przedstawiać dane działanie na płaszczyźnie zespolonej:

z₁+z₂ = a₁+b₁i+a₂+b₂i=a₁+b₁i=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

Zauważmy, że w wyniku dodawania znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną (analogicznie możemy zrobić z odejmowaniem). Zobaczmy, że działania na nich nie różnią się od zwykłych działań wprowadzanych w szkole. Sprawdźmy jak to będzie wyglądało na płaszczyźnie zespolonej:

 

 Czy zauważyliśmy, że tak naprawdę otrzymaliśmy dodawanie wektorów? Ciekawa sprawa. Czyżby liczby zespolone miały coś wspólnego z wektorami? Niespodziewany wniosek nam się pojawił. A co otrzymamy dodając do siebie pary liczb zespolonych z_k oraz z_l takie, że: a_k=b_l oraz a_l=b_k:

 Już dla tych wybranych liczb zespolonych, możemy zauważyć, że dla wszystkich par, których suma daje pewną liczbę zespoloną, liczby te leżą na jednej osi, która jest osią symetrii wszystkich tych par liczb zespolonych. Podstawmy i dodajmy te liczby:

z_k+z_l=a_k+b_ki+a_l+b_li=b_l+a_li+a_l+b_li=(a_l+b_l)·(1+i)

Otrzymaliśmy ciekawy wynik, na podstawie którego możemy wyznaczyć równanie danej osi symetrii:

iy=x

Zachęceni tym zbadajmy inne działania, może znowu coś ciekawego odkryjemy.

Kolejne działanie to mnożenie: Pomnóżmy nasze liczby zespolone z₁ i z₂ przez siebie:

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁·a₂+a₁·b₂i+ a₂·b₁i+ a₂·b₂i² =(a₁·a₂-b₁·b₂)+(a₁·b₂+ a₂·b₁)i

Może troszkę bardziej skomplikowane były te obliczenia, ale zauważmy, że znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną. Jak teraz to pomnożyć geometrycznie?

 Jak możemy zauważyć na rysunku, wykorzystujemy tu podobieństwo trójkątów. Trójkąt OAC jest podobny do trójkąta OBD, a trójkąt OAB  jest podobny do trójkąta OCD. Ponieważ punkt A leży w punkcie (1,0), możemy traktować liczby zespolone jako iloczyny 1  i z. Stąd otrzymujemy z₃ niezależnie od kolejności działań:

z₁·z₂= z₂·z₁

Zbadajmy teraz jeszcze dzielenie liczb zespolonych:

 

 Otrzymaliśmy coś dziwnego, elementy z i u góry i u dołu. Właściwie to jak to dalej poprowadzić?. Tu przychodzi nam z pomocą wiedza o usuwaniu niewymierności z mianownika ułamka (czyli zamieniamy znak przy członie związanym z liczbą urojoną b₂i). Spróbujmy zastosować tę samą procedurę mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:

 

 Czyli znowu otrzymaliśmy liczbę zespoloną. Wypadałoby sprawdzić interpretację geometryczną tych działań. Musimy jednak wcześniej odkryć jakąś sztuczkę.

 Narysujmy jeszcze raz liczbę zespoloną korzystając z diagramu Arganda:

 

 Czy możemy odkryć jakąś inną postać liczby zespolonej, bardziej przydatną. Możemy zauważyć, że punkt na płaszczyźnie oznaczający liczbę zespoloną możemy połączyć odcinkiem z początkiem układu. Jest on nachylony do osi OX pod pewnym kątem φ:

 

 Ponieważ występują tu funkcje trygonometryczne, nazywamy tę postać trygonometryczną. Ma ona następującą postać.

 Wartość bezwzględna nosi nazwę modułu liczby zespolonej. Wykorzystując tę postać można odkryć kolejne ciekawe właściwości liczb zespolonych:

 Podczas dodawania wykorzystamy tę postać i tożsamości trygonometryczne aby głębiej poznać ich geometrię. Być może pomoże nam to później przy kolejnych działaniach, czyli mnożeniu i dzieleniu. Mamy więc znowu dwie liczby zespolone z₁ oraz z₂:

 

 Wykonajmy zwykłe obliczenia

 

 Nie uprościło nam to za bardzo w porównaniu z poprzednim zapisem liczb zespolonych. Spróbujmy jeszcze narysować:

 Przejdźmy dalej i zobaczmy czy przy mnożeniu będzie łatwiej.

Wykonajmy najpierw mnożenie, a potem zobaczymy graficzną interpretację:

 

 Przyjrzyjmy się wynikowi mnożenia i skorzystajmy z prostych wzorów trygonometrycznych otrzymując interesującą, do interpretacji geometrycznej, postać:

 

 Narysujmy to aby zobaczyć prostą tego interpretację:

 

 Wynika z tego, ze mnożenie to sumowanie kątów i mnożenie modułów liczb zespolonych.

Pójdźmy dalej za ciosem i zobaczmy, że możemy w prosty sposób przejść do wzoru na potęgowanie liczby zespolonej z:

 

 Otrzymany wzór nosi nazwę wzoru Moivre’a i opisuje potęgowanie liczby zespolonej (drugi wzór dotyczy pierwiastkowania i wyznaczymy go później). Jeśli przyjmiemy, że moduł z = 1, to całe mnożenie sprowadza się tylko do obrotów po okręgu o promieniu 1. Otwiera nam to od razu furtkę do szukania rozwiązań równania

xⁿ=1

Zobaczmy, że tak naprawdę to wszystkie punkty na okręgu to jest to po prostu n pierwiastków z 1. W zasadzie poszukiwanie rozwiązań to wpisanie odpowiedniej figury foremnej w okrąg o promieniu 1, której wierzchołki wyznaczają wszystkie rozwiązania powyższego równania dla danego n. Przyjrzyjmy się kilku pierwiastkom z liczby 1:

 

 

 Zauważyłeś drogi czytelniku, że nie umieściłem tu rozwiązań dla pięciokąta. Poświęćmy mu teraz troszkę czasu, ponieważ pozwoli nam to uzyskać dodatkowe wnioski, oprócz samych rozwiązań.

Przyjrzyjmy się więc samemu pięciokątowi, a otrzymane wnioski zastosujemy do poszukiwań pierwiastków. Zacznijmy od narysowania pięciokąta w inny sposób:

 

 Niech długość boku tego pięciokąta wynosi a, wtedy możemy wyznaczyć stosunki odpowiednich odcinków i zastosować w naszych poszukiwaniach (oznaczmy kluczowe elementy pięciokąta odpowiednimi literami):

 

W prosty sposób możemy od razu odkryć, że kąt α = 36°. Z rysunku wynikają następujące stosunki:

Podstawiając do drugiej zależnośći wyznaczone b otrzymujemy zależność między x i y:

 

Z rysunku wynika ponadto, że

x+y=a

Na tej podstawie możemy już po kolei wyznaczyć kolejno x, y oraz b żeby na ich podstawie wyznaczyć stosunki potrzebne do otrzymania rozwiązania równania x⁵=1.

Zacznijmy od wyliczenia x:

 

 Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. którego rozwiązaniem (przyjmijmy tylko to dodatnie, bo nie istnieją ujemne boki) jest niespodzianka:

 

 Otrzymaliśmy liczbę φ czyli złotą liczbę określająca złoty podział, charakteryzujący piękno. 

 

 Dlatego chciałem to dokładnie rozwiązać. Łatwo już teraz wyznaczyć kolejne odcinki:

 

 Uff…. Możemy wrócić do naszego równania i pięciokąta wpisanego w okrąg:

 Z naszych rozważań kształtuje nam się obraz pierwiastkowania liczb zespolonych. Przyglądając się rysunkom stwierdzamy, że w części trygonometrycznej, liczby zespolonej wystarczy podzielić przez liczbę n, aby uzyskać rozwiązania odpowiednich „pierwiastkowań” Ponieważ funkcje sinus i cosinus są okresowe, dochodzimy do następującego wzoru:

 Po drodze otrzymaliśmy też bardzo ładny wzór trygonometryczny:

 

 Zostało nam już tylko dzielenie. Wiedząc, że jest to odwrotność mnożenia i łącząc z postacią trygonometryczną otrzymujemy:

 

Jak widać, liczby zespolone są bardzo wdzięcznym tematem. Są całe działy matematyki poświęcone liczbom zespolonym jak analiza zespolona. Są niezmiernie przydatne w fizyce i chemii. Można je też rozszerzać na jeszcze większe zbiory, ale o tym może innym razem.