Zabawy z liczbami

Ostatnio na Facebooku pojawiła się ciekawa zagadka: co łączy liczby 2025 3025 i 9801 i tylko te liczby?

Wbrew pozorom zagadka jest prosta. Wyznaczy znaleźć wszystkie pierwsze dzielniki  i okazuje się, że rozwiązanie samo się pokazuje:

Dzielniki liczby 2025 to 3, 3, 3, 3, 5, 5; liczby 3025 to 5, 5, 11, 11, a liczby 9801 to 3, 3, 3, 3, 11, 11. Widzimy więc, że liczby te składają się parami z takich samych potęg: 2025=3⁴·5², 3025=5²·11², 9801=3⁴·11².

W skrócie: iloczyn dwóch kolejnych liczb cyklu: {3⁴->5²->11²}

Można tę regułę rozszerzyć na ciekawe sposoby budując ciągi liczb pierwszych, podnoszonych do parzystych potęg i mnożonych przez siebie w odpowiedni sposób np.

1089,5625,2025, 75625, 9801, 3025, 225, 131769, 366025

W tym ciągu poszedłem dalej i pozwoliłem, żeby potęga 4 też przechodziła z liczby na liczbę. Natomiast bazą dalej były liczby 3, 5 i 11

Kiedy dołożymy kolejną liczbę pierwszą 7 i będziemy teraz badali iloczyn trzech liczb z ruchomą potęgą 4 (pozostałe jak zwykle kwadraty) to otrzymamy taki ciąg liczb.

11025, 17935225, 6456681, 3294225, 99225, 480249, 245025, 148225, 540225, 27225, 2614689, 7263025, 275625, 680625, 53361, 3705625.

Oczywiście możemy to rozwijać w nieskończoność i szukać ciekawych związków ale to już kiedy indziej. Pozdrawiam